Занятие №5 (8.10.2016)
Сегодня мы:
1) Нашли явную формулу для n-го члена последовательности, заданной рекуррентно: a_0=0, a_{n+1}=a_n/(1+na_n).
2) Вспомнили теорему Вейерштрасса о последовательностях (и примерную идею доказательства);
3) Нашли пределы последовательностей (или доказали их отсутствие):
а) x_1 = 1, x_{n+1}=x_n^2+(1-2a)x_n+a^2, при всех вещественных а;
б) a_0= - 1/2, a_{n+1}=a_n^2 (a_n - 3)/4.
4) Доказали монотонность и ограниченность последовательности (1+1/n)^n и дали определение числа е;
5) (Почти) доказали, что e = 1+1+1/2!+1/3!+1/4!+...
6) Доказали, что е иррационально;
7) Поговорили о разных задачах, в которых возникает число е (все по умолчанию без док-ва):
а) Формула Стирлинга (чему асимптотически равно n!),
б) Гауссовское распределение и площадь под графиком exp(-x^2);
в) Оптимальный алгоритм в задаче о разборчивой невесте;
г) Субфакториал - кол-во перестановок, в которых ни один элемент не стоит на своем месте (частично с док-вом);
д) Максимизация произведения чисел при фиксированной сумме.

В качестве домашнего задания предлагаю решить следующие задачи:
1) Докажите, что при a>0 предел последовательности x_1=a, x_{n+1}=(2x_n+a/x_n^2)/3 равен a^(1/3).
2) При всех a найдите предел последовательности: x_1=1/3, x_{n+1}=x_n(2 - ax_n) или докажите, что его не существует.
3) Докажите, что e^2 иррационально. (Подсказка: надо будет применить разложения для e, для 1/e и пошаманить.)
4) Сколькими способами можно так разложить n пронумерованных шариков по n пронумерованным коробочкам, по одному в каждую коробочку, чтобы: а) ровно k шариков попали в коробочку со своим номером; б) хотя бы k? (Если в ответе получатся длинные суммы, ничего страшного, привыкайте. Постарайтесь записать их через знак суммирования.)

Занятие №6 (16.10.2016)
Сегодня мы:
1) сформулировали основное свойство действительных чисел - их непрерывность - в виде принципа вложенных отрезков Кантора;
2) доказали теорему Больцано-Вейерштрасса;
3) вспомнили два определения (по Коши и по Гейне) предела функции в точке и непрерывности функции в точке;
4) доказали теорему Вейерштрасса о том, что если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем;
5) доказали теорему Больцано-Коши о промежуточном значении;
6) построили примеры функций: а) которая разрывна везде; б) которая непрерывна ровно в одной точке; в) которая разрывна во всех рациональных точках и непрерывна в остальных.
Решили задачи:
7) Докажите, что на экваторе найдутся две противоположные точки с одинаковой температурой.
8) Пусть непрерывная функция f отображает отрезок [0;1] в себя. Докажите, что найдется точка x \in [0;1], такая, что f(x)=x.
9) (не до конца решили) Докажите, что не существует непрерывной на R функции f, такой, что f(f(x))=1-x^3.

Дома предлагаю решить следующие задачи:
1) Постройте пример функции, которая непрерывна в точках вида 1/n, а в остальных - разрывна. 
2) Дана выпуклая фигура на плоскости. Докажите, что через любую точку внутри нее можно провести отрезок так, что фигура разделится на две равновеликие части.
3) На сковородке лежат два блина. Докажите, что можно провести прямолинейный разрез так, чтобы оба блина разделились на равные по площади части.
4) Существует ли такая непрерывная функция, действующая из [0;1] в [0;1], что ее значения в рациональных точках иррациональны, а в иррациональных - рациональны?
5) Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [0;1] и \forall x f(g(x))=g(f(x)). Докажите, что \exists x_0: f(x_0)=g(x_0).

Занятие №7 (22.10.2016)
1) Найти все непрерывные функции, такие, что 3f(2x+1)=f(x)+5x.
2) Найти все непрерывные функции, такие, что f(x^2)+f(x)=x^2+x.
3) Второй замечательный предел: доказать, что а) lim_{x->inf} (1+1/x)^x=e; б) lim_{x->0} (1+x)^(1/x)=e; в) lim_{x->inf} (1+k/x)^x = e^k.
4) lim_{x->inf} ((x^2+1)/(x^2-2))^(2x^2).
5) lim_{x->pi/2} (sin x)^(tg x).
Определение о-малого, О-большого.
6) lim_{x->0} (log_a (1+x))/x.
7) lim_{x->0} (a^x-1)/x.
Напоминание: определение производной, связь непрерывности с дифференцируемостью. Формулы для производных основных элементарных функций (кроме a^x, log_a (x)) и свойства производных (б/д, поскольку док-во было в 10 классе).
8) Вывод производной для показательной функции.
9) Вывод производной для логарифмической функции.
10) Производная x^x.
11) Найти все такие функции, что f'(x)f(x)=0.

Самостоятельно предлагаю сделать следующие задачи:
1) Найдите все такие непрерывные функции, что 3f(x)=f(x/2)+3x.
2) Найдите предел: lim_{x->a} (ln(x)-ln(a))/(x-a).
3) Найдите предел: lim_{x->0} (ln(cos(ax))/ln(cos(bx))).
4) Найдите предел: lim_{x->pi/4} (tg x)^(tg 2x).
5) (Для повторения) Найдите уравнение прямой, пересекающей график функции y=log_2 (x) в точке x_0 под углом pi/4.

Занятие №8 (24.10.2016)
1) Вспомнили лемму Ферма о нулях производной. Вспомнили контрпример к утверждению, обратному этой лемме. Вспомнили алгоритм исследования функций на экстремумы.
2) Вспомнили функцию Дирихле и заново доказали, что она всюду разрывна. Вспомнили функцию xD(x), которая непрерывна ровно в одной точке, и доказали, что она нигде не дифференцируема. Затем построили функцию, которая дифференцируема ровно в одной точке.
3) Вспомнили, как решать задачи вида "найдите остаток от деления такого-то здоровенного многочлена на x^2+1".
4) Доказали теорему о кратных корнях: P(x) делится на (x-a)^2 тогда и только тогда, когда P(x) делится на (x-a) и P'(x) делится на (x-a).
5) Построили пример функции, для которой P'(x) делится на (x-a), но P(x) не делится на (x-a)^2.
6) Задача: докажите, что при всех n многочлен x^{2n+1}-(2n+1)x^{n+1}+(2n+1)x^n-1 делится на (x-1)^3.
7) Задача: при каких n многочлен (x+1)^n-x^n-1 делится на: а) x^2+x+1; б) (x^2+x+1)^2? (не дорешали)

Занятие №9 (29.10.2016)
1) Рассмотрели б/д пример функции, которая непрерывна везде, но не дифференцируема нигде - функцию Вейерштрасса.
2) Дали определение гладкой функции, бесконечно гладкой функции, нарисовали диаграммку вложенности для функций: непрерывные -> дифференцируемые -> гладкие-> дважды дифференцируемые -> дважды гладкие -> ...
3) Построили пример функции, которая имеет первую производную, но не вторую (x|x|); вторую, но не третью (x^2*|x|); и т.д.
4) Построили пример дифференцируемой, но не гладкой функции:
а) еще раз вспомнили разные определения предела функции и доказали, что sin(1/x) не имеет предела в нуле;
б) рассмотрели функцию x*sin(1/x), доопределенную в нуле нулем, и доказали, что она непрерывна, но не дифференцируема;
в) рассмотрели функцию x^2*sin(1/x), доопределенную в нуле нулем, и доказали, что она имеет производную, но не непрерывную.
5) Доказали теорему Вейерштрасса (уже третью) о том, что функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем глобального минимума и максимума. Привели два примера не непрерывных на отрезке функций, которые не обладают таким свойством.
6) Доказали теорему Ролля о среднем.
7) Доказали теорему Лагранжа (формулу конечных приращений). Разобрали ее геометрический смысл.

Занятие №10 (31.10.2016)
1) Вспомнили теорему Лагранжа о среднем, на которой остановились в прошлый раз.
2) Доказали теорему Коши о среднем. Разобрали ее геометрический смысл.
3) Сформулировали и доказали правило Лопиталя для случая неопределенности 0/0, когда x->a.
4) Задача: lim_{x->0} (x-sin x)/x^3. Найдя предел, поговорили о его значимости и том, как можно получить разложение синуса в ряд в окрестности нуля.
5) Задача: lim_{x->0} (1/x^2 - ctg^2 x).
6) Вспомнили достаточное условие возрастания функции, вспомнили пример функции, которая строго возрастает и дифференцируема, но ее производная не больше нуля.
7) Рассмотрели "парадокс": почему равны производные функций lg x и lg 3x.
8) Дали определение выпуклой функции (строго выпуклой, вогнутой, строго вогнутой). Разобрали его геометрический смысл.
9) Привели примеры: а) выпуклой; б) строго выпуклой функции, которая не является дифференцируемой.
10) Сформулировали достаточное условие выпуклости в терминах второй производной, разобрали его геометрический смысл. Не доказали.

Занятие №11 (5.11.2016)
1) Была с/р, состоявшая из двух частей: теория и задачи.
Теория: 1 вариант: Сформулировать определение о-малого; теорему Больцано-Вейерштрасса; теорему Ролля; определение гладкой функции; определение предела функции в точке. 2 вариант: сформулировать определение О-большого; теорему Лагранжа о среднем; теорему Больцано-Коши; определение точки экстремума; определение предела последовательности.
Задачи: №1. Проверить, является ли функция непрерывной, дифференцируемой, гладкой: 1й: x cos (1/x^2), если x!=0, 0 иначе; 2й: x^2 cos (1/x), если x!=0, 0 иначе. №2: Найти предел: 1й: lim_{x->0} (cos 6x)^(ctg^2 x); 2й: lim_{x->pi/2} (sin x)^(tg^2 x). №3: Найти предел: 1й: lim_{x->0} (tg x - x)/x^3; 2й: lim_{x->0} (arcsin x - x)/x^3. №4: исследовать посл-сть на сходимость: 1й: x_1=8/17, x_{n+1}=1/x_n - 3/2; 2й: x_1=6/7, x_{n+1}=4 - 3/x_n.
2) Вспомнили определение выпуклой функции и его геометрический смысл, доказали достаточное условие выпуклости функции (вторая производная неотрицательна). Привели пример строго выпуклой дважды дифференцируемой функции, у которой вторая производная не положительна.
3) Доказали, что график строго выпуклой функции лежит выше любой касательной.
4) Дали определение точки перегиба (на этот раз для всех дифференцируемых функций, а не только для дважды дифференцируемых). Доказали достаточное условие для точки перегиба: вторая производная меняет знак.
5) Решили задачу: что больше: log_2015 2016 или log_2016 2017, используя производную.

Занятие №12 (19.11.2016)
Вначале решили несколько задач.
1) Что больше: log_100 200 или log_1000 2000?
2) Что больше: e^pi или pi^e?
3) Рассмотрим функцию x^x. В какой точке у нее экстремум? Выпуклая она или вогнутая? К чему стремится x^x при x->0+? Построили график этой функции.
4) Нашли максимум в последовательности {n^(1/n)}
В оставшееся время - зачет №1 по темам занятий 1-11.

Занятие №13 (26.11.2016)
Сформулировали и доказали классические неравенства о средних:
2/(1/a+1/b)<=sqrt(ab)<=(a+b)/2<=sqrt((a^2+b^2)/2).
Доказали неравенства (все переменные положительны):
1) a/b+b/c+c/a>=3.
2) sqrt(a/(b+c))+sqrt(b/(c+a))+sqrt(c/(a+b))>2.
3) (a+b)(a+c)(b+c)>=8abc.
4) abc>=(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
5) a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c).
6) Решили систему: x+y=2, xy-z^2=1.
Доказали неравенство Коши (a_1+...+a_n)/n>=(a_1*...*a_n)^(1/n) методом двусторонней мат.индукции.
Как следствие из него получили неравенство 
(a_1*...*a_n)^(1/n) >= n/(1/a_1+...+1/a_n).
Рассмотрели метод Штурма для док-ва неравенств.
Доказали, что если x_1*...*x_n=1, x_i>0, то x_1+...+x_n>=n, причем равенство достигается лишь когда все переменные равны.
Доказали, что если x_1+...+x_n=1, то x_1^2+...+x_n^2>=1/n, причем равенство достигается лишь когда все переменные равны.
Используя это, заново доказали (a_1+...+a_n)/n>=(a_1*...*a_n)^(1/n), и равенство достигается лишь когда все переменные равны.
Далее доказали, что (a_1+...+a_n)/n<=sqrt((a_1^2+...+a_n^2)/n), и равенство лишь когда все переменные равны.
Ввели M(d) - степенное среднее для произвольного d: ((a_1^d+...+a_n^d)/n)^(1/d). Доказали, что lim_{d->0} M(d) равен среднему геометрическому, так что доопределили M(0)=(a_1*...*a_n)^(1/n).
Начали доказывать, что M(d) монотонно возрастает по d, т.е. что M'(d)>0.

Занятие №14 (28.11.2016)
Доказали лемму: если a_1,...,a_n, b_1, ..., b_n > 0, то ((a_1+...+a_n)/(b_1+...+b_n))^(a_1+...+a_n) <= (a_1/b_1)^a_1 ... (a_n/b_n)^a_n, причем равенство достигается только тогда, когда a_1/b_1=...=a_n/b_n.
Пользуясь леммой, закончили док-во теоремы о том, что при фиксированных a_1, ..., a_n степенное среднее степени d монотонно возрастает по d, причем остается константой, если и только если a_1=...=a_n.
Решили задачи, используя неравенства о средних:
1) Система уравнений x+y+z=3, x^2+y^2+z^2=3.
2) Уравнение x^4+y^4+2=4xy.
3) Уравнение xy/z+yz/x+zx/y=3 в целых числах.
Сформулировали и доказали неравенство КБШ для n переменных: (a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)>=(a_1b_1+...+a_nb_n)^2.
Решили задачи, используя КБШ:
4) Доказали неравенство a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac.
5) Доказали неравенство x^4+y^4>=xy^3+x^3y.
6) Неравенство sin a sin b + cos a + cos b <= 2.
7) Неравенство (1+1/sin(x))(1+1/cos(x))>5 при 0<x<pi/2.
8) Неравенство sqrt(x+1)+sqrt(2x-3)+sqrt(50-3x)<=12.

Занятие №15 (3.12.2016)
1) Пусть x^2+y^2+z^2=1. Найдите максимальное значение выражения x+2y+3z и значения переменных, при которых оно достигается.
2) Доказали неравенство (Titu's lemma): пусть b_1,...,b_n>0, тогда:
a_1^2/b_1+...+a_n^2/b_n >= (a_1^2+...+a_n^2)/(b_1+...+b_n).
3) Пусть a+b+c<=1, a,b,c>0. Докажите неравенство 1/(a+b)+16/c+81/(a+b+c)>=98.
4) Пусть x+y+z<=1, x,y,z>0. Найдите точку минимума и минимум функции f(x,y,z)=(yz+4zx+9xy)/xyz.
5) Доказали для a,b,c>0: a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2 (неравенство Несбитта).
6) Сформулировали б/д обобщение этого неравенства (Shapiro's inequality).
7) Сформулировали и доказали перестановочное неравенство (транснеравенство), обсудили его физический смысл.
8) Доказали: a^5+b^5+c^5>=a^4b+b^4c+c^4a.
9) Доказали a_1^2/a_2+a_2^2/a_3+...+a_n^2/a_1>=a_1+...+a_n, если a_i>0.
10) Доказали: a^a b^b c^c >= a^b b^c c^a, если a,b,c>0.
11) Сформулировали и доказали неравенство Чебышева для сумм.
12) Доказали: a^a b^b c^c >= (abc)^((a+b+c)/3), если a,b,c>0.

Для тех, кто хочет потренироваться сам или улучшить свои баллы, вот задание по темам последних трех занятий.
Докажите неравенства:
1) a^3+b^3+c^3+3abc>=a^2b+ab^2+b^2c+cb^2+a^2c+ac^2, если a,b,c>0.
2) (1+4a/(b+c))(1+4b/(a+c))(1+4c/(a+b))>25, если a,b,c>0.
3) (a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=25/2, если a,b>0, a+b=1.
4) 1/(b+c-a)+1/(a+c-b)+1/(a+b-c)>=1/a+1/b+1/c, если a,b,c - стороны треугольника.
5) a+b+c<=abc+2, если a^2+b^2+c^2=2.
6) (a_1^3+...+a_n^3)^2<=(a_1^2+...+a_n^2)^3, если a_1,...,a_n>0.
7) a/(a+2b)+b/(b+2c)+c/(c+2a)>=1, если a,b,c>0.
8) 1/(ab+b^2)+1/(bc+c^2)+1/(ca+a^2)>=3/2, если a,b,c>0, abc=1.
9) (a^8+b^8+c^8)/(abc)^3>1/a+1/b+1/c, если a,b,c>0.
10) a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab>=a+b+c, если a,b,c>0.
11) Пусть a+b+c+d+e+f=7. Найдите минимум и точку минимума функции: 1/a+4/b+9/c+16/d+25/e+36/f.
12) Пусть a,b,c>0, a+b+c=1. Найдите минимум и точку минимума функции a^2+2b^2+c^2.

Занятие №16 (10.12.2016)
Решали задачи по алгебре, сводящиеся к тригонометрии и геометрии.
1) Уравнение sqrt((1+2x*sqrt(1-x^2))/2)+2x^2=1.
2) Сколько решений имеет уравнение 8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1 на [0;1]?
3) Найдите такие решения системы a^2+b^2=9, c^2+d^2=16, ad+bc>=12, при которых b+d максимально.
4) Решите систему 2x+x^2y=y, 2y+y^2z=z, 2z+z^2x=x.
5) Докажите, что -1/2<=(x+y)(1-xy)/(1+x^2)/(1+y^2)<=1/2.
6) Докажите, что среди любых 7 вещественных чисел найдутся такие x,y, что 0<=(x-y)/(1+xy)<=1/sqrt(3).
7) Решите уравнение: sqrt(x^2+(y-4)^2)+1/sqrt(5)*|x-2y-2|=2sqrt(5), x>=2.
8) Решите уравнение sqrt(x^2-5sqrt(2)x+25)+sqrt(x^2-12sqrt(2)x+144)=13.
9) Решите систему x^2+xy+y^2=4, y^2+yz+z^2=9, z^2+zx+x^2=36.
Последние два примера недорешали ввиду того, что никто не умеет в геометрию.

Занятие №17 (17.12.2016)
Решили еще задачу на геометрию в алгебре.
1) Дана система: 3x^2+3xy+y^2=75, y^2+3z^2=48, z^2+zx+x^2=9, x,y,z>0. Найдите xy+2yz+3xz.
Дальше решали задачи с параметром.
Геометрический метод:
2) При каких a уравнение имеет ровно одно решение?
a+sqrt(6x-x^2-8)=3+sqrt(1+2ax-a^2-x^2).
3) При каких a,b система имеет ровно два решения (x_1,y_1), (x_2,y_2), таких, что (x_1-x_2)/(y_2-y_1)=(y_1+y_2)/(x_1+x_2)?
x^2+y^2+5=b^2+2x-4y, x^2+(12-2a)x+y^2=2ay+12a-2a^2-27.
Задачи о квадратном трехчлене с параметром:
4) При каких a оба корня квадратного трехчлена (a-1)x^2-(2a+1)x+2+5a больше 1?
5) При каких a из неравенства (a^2+a-2)x^2-(a+5)x+2<=0 следует 0<=x<=1?
6) При каких а неравенство 2x^2-4a^2x-a+1>0 выполнено для любого x \in [-1;1]?

Занятие №18 (24.12.2016)
Тема: задачи с параметрами (продолжение).
Задачи о квадратном трехчлене с параметром:
1) При каких а уравнение имеет корни, и все они меньше 1: (a-1)x^2-(a+1)x+2a-1=0?
2) При каких m неравенство x^2+mx+m^2+6m<0 выполнено для всех x \in (1;2)?
Задачи, решаемые относительно параметра:
3) При каких p множество решений неравенства (p-x^2)(p+x-2)<0 не содержит решений неравенства x^2<=1?
4) При каких p количество целочисленных решений уравнения x^2+5(x+1)+3|x-p|+p<=0 достигает максимума?
Задачи со свободным параметром:
5) При каких a для любого b система имеет решения: (x^2+1)^a+(b^2+1)^y=2; a+bxy+x^2y=1?
6) При каких а для любого b уравнение имеет решения: cos(b+ab+bx)+2cos(b^2x)=3a^2?
Использование инвариантности относительно замен переменных:
7) При каких а уравнение имеет единственное решение: x^2-2a*sin(cos(x))+a^2=0?
8) При каких а уравнение имеет единственное решение: 2^(2x/(1+x^2))+a*cos((x^2-1)/x)+a^2-5/4=0?

Занятие №19 (14.01.2017)
Новую тему не начинали. Самостоятельной работы как таковой не было, но решали разные примеры с последующим разбором на доске.
1) Докажите неравенство: sqrt(x(3x+y))+sqrt(y(3y+z))+sqrt(z(3z+x))<=2(x+y+z). (попутно вспомнили КБШ)
2) Докажите неравенство: a^3/bc+c^3/ab+b^3/ac>=a+b+c, a,b,c>0. (попутно вспомнили транснеравенство)
3) Докажите неравенство: 1/(a^3(b+c))+1/(b^3(a+c))+1/(c^3(a+b))>=3/2, если abc=1, a,b,c>0. (попутно вспомнили Titu's lemma)
4) При каких a система имеет единственное решение: ax^2+4ax-y+7a+1=0; ay^2-x-2ay+4a-2=0?
5) При каких a уравнение имеет решение: sqrt(3a+sqrt(3a+2x-x^2))=2x-x^2?
6) Докажите неравенство при x \in [0; pi/2): tg(x)+sin(x)>=2x.
7) (не успели, сделайте сами) Докажите неравенство: 3a^3+7b^3>=9ab^2, a,b>=0.
В следующий раз встречаемся, как обычно, в субботу в 16:30.

Занятие №20 (21.01.2017)
1) Была с/р. Вариант был один, всего 3 задания:
№1. При каких а система имеет ровно два решения: 4x=a+3-y^2+2y; x^2+y^2=2y?
№2. При каких а из уравнения (4-a)x^2+2(a-3)x-a=0 следует x>1?
№3. Пусть х^2+y^2+z^2=1. Какое максимальное значение может принимать выражение x+3y+5z и при каких значениях x,y,z оно достигается?
2) Поговорили про однородные уравнения. Решили уравнение:
3(x^2+x-1)+4(x^2-x+1)+7sqrt((x^2+x-1)(x^2-x+1))=0.
3) Решили уравнение: 16x^3=(11x^2+x-1)sqrt(x^2-x+1).
4) Доказали (с прошлого раза), что если a,b>0, то 3a^3+7b^3>=9ab^2.
5) Вспомнили определение выпуклой функции и его геометрический смысл. Вспомнили свойства выпуклых функций. Сформулировали и доказали неравенство Йенсена для n переменных.
6) Вывели неравенство КБШ из неравенства Йенсена.
7) Вспомнили неравенство ((a+b)/(c+d))^(a+b)<=(a/c)^a*(b/d)^b.
8) Доказали, что если a,b,c - углы треугольника, то sin a + sin b + sin c <= 3sqrt(2).
9) Нашли максимум выражения sqrt(4a+1)+sqrt(4b+1)+sqrt(4c+1) при a+b+c=36.
10) Сформулировали б/д неравенство Караматы, разобрали один пример.

Занятие №21 (28.01.2017)
Тема: Теория чисел.
1) Простых чисел бесконечно много.
2) а) Для любого n существует n подряд идущих составных чисел.
б) Существует n подряд идущих чисел, среди которых ровно 7 простых.
3) а) Сколько различных делителей у числа 15^20*20^15?
б) (Физтех, финал 2014г) Сколько решений в натуральных числах у уравнения x^3y^2=15^15*20^20?
Делимость и остатки.
4) Пусть a^2+b^2 \vdots 3, докажите, что тогда a^2+b^2 \vdots 9.
5) Пусть a^3+b^3+c^3 \vdots 7, докажите, что тогда abc \vdots 7.
6) Посл-сть a_n задана так: a_n=2^n+5^n. Какое максимальное количество подряд идущих ее членов могут быть простыми числами?
7) а) Для любого n найдется число из нулей и единиц, делящееся на n.
б) Для любого простого p найдется число из одних единиц, делящееся на p.
8) (Физтех, финал 2015г) Сколько существует k<=291000, таких, что k^2-1 делится на 291?
9) Чему равна 23-я с конца цифра числа 100! ?
Признаки делимости.
0) Любое число дает такой же остаток при делении на 9, как и сумма его цифр.
1) У числа 100! посчитали сумму цифр, потом посчитали сумму цифр у нее, и т.д., пока не осталась одна цифра. Что это за цифра?
Пусть в дальнейшем s(n) обозначает сумму цифр числа n.
2) а) Рассмотрим посл-сть: a_1=3^2017; a_{n+1}=s(a_n). Чему равно a_5?
б) Тот же вопрос, если a_1=2^2017.
3) Решите уравнение n+s(n)+s(s(n))+s(s(s(n)))=2017.
4) Чему равен НОД всех чисел, получающихся из числа 123456789 всевозможными перестановками цифр?
5) (Ломоносов, 2014, финал) Выписали все числа 1,2,...,2014. Затем каждое число заменили на его сумму цифр, и т.д., пока не осталось 2014 однозначных чисел. Чему равна сумма оставшихся чисел?
6) (ВсОШ, муниц.этап) В таблицу 4х18 расставили числа от 1 до 72, затем посчитали 18 произведений чисел по столбцам и нашли сумму цифр у каждого из них. Могли ли получиться 18 одинаковых сумм?
7) Докажите, что 1234567891011...7980 делится на 1980.
8) (Физтех, 2016, финал) Сколькими способами можно в числе 2_0_1_6_0_2_ заполнить пропусками цифрами 0,1,...,8, чтобы полученное число делилось на 45?
Малая теорема Ферма.
0) Два док-ва МТФ: через умножение остатков, через комбинаторику.
1) Чему равен остаток 2222^5555 при делении на 7?

Занятие №22 (4.02.2017)
Сначала поговорили о проблеме распознавания простых чисел, о проблеме разложения чисел на множители, о том, какая сложность у алгоритмов для решения этих задач.
Дальше решали задачи на МТФ:
1) Найти остаток от деления: а) 3^101 на 102; б) 2^100 на 12; в) 7^561 на 11.
2) а) Простое ли число 30^239+239^30? б) А число 257^1092+1092?
3) Пусть a^12+b^12+c^12+d^12+d^12+e^12+f^12 \vdots 13, докажите, что тогда abcdef \vdots 13^6.
Научились решать линейные сравнения первой степени по простому модулю с помощью МТФ. Поговорили о быстром возведении в степень по модулю, о нахождении обратного элемента по модулю простого.
Ввели понятие функции Эйлера.
Решили задачи: найти функцию Эйлера от простого p, от степени простого, от произведения двух простых, от числа 2016 (вспомнили формулу включений-исключений).
Доказали мультипликативность функции Эйлера.
Вывели общую формулу для функции Эйлера.

Занятие №23 (11.02.2017)
Еще раз обсудили МТФ и ее значение.
Доказали теорему Эйлера - обобщение МТФ.
Решили задачи:
1) а) Найдите остаток от деления 14^14 на 20.
б) Найдите две последние цифры числа 14^14^14.
2) Найдите такое натуральное n, что 3^n оканчивается на 000001.
3) Решите уравнение: \phi(n)=n/3.
Сформулировали теорему Вильсона, но доказать не успели.
После этого был зачет №2 по темам занятий 13-22 (алгебра, теория чисел).

Занятие №24 (13.02.2017)
1) Вспомнили (с 10 класса) и еще раз доказали алгоритм Евклида.
2) а) Докажите, что два последовательных числа Фибоначчи взаимно просты. б) Сколько операций выполняет алгоритм Евклида в худшем случае, если числа не превосходят n?
3) При каких n дроби сократимы: а) (n^2+2n+4)/(n^2+n+3);
б) (n^3-n^2-3n)/(n^2-n+3)?
4) Рассмотрели расширенный алгоритм Евклида и соотношение Безу (линейное выражение НОД).
5) Докажите, что (m,n)*C_n^m \vdots n.
6) Разобрали (сформулировали и обосновали) общий алгоритм решения линейных диофантовых уравнений с двумя переменными.
7) Решили диофантовы уравнения: а) 20x+12y=2017; б) 5x+7y=19;
в) 201x-1999y=12.
Дальше решали нелинейные диофантовы уравнения:
1) x^2-xy-2y^2=7.
2) 2x^2+5=3y^2+5xy.
3) x^2=y^2+6y+21.
4) x+y=x^2-xy+y^2.
5) 3x^2+4xy-7y^2=0.
6) x^3-6x^2-xy+13x+3y+7=0.
7) x^2-7y^2=5.
8) x^2-5y^2=3.
9) x^3-2y^3-4z^3=0. (метод бесконечного спуска)
В конце сформулировали и доказали китайскую теорему об остатках (КТО).

Занятие №25 (4.03.2017)
1) Ввели определение интеграла Римана как площади под графиком функции. Подробно обсудили это определение.
2) Дали определение интегрируемой функции. Доказали, что функция Дирихле неинтегрируема.
3) Доказали, что если функция интегрируема на отрезке, то она может быть и разрывной.
4) Доказали, что если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.
5) Ввели F(x) как интеграл с переменным верхним пределом. Доказали, что F(x) непрерывна.
6) Доказали основную теорему интегрального исчисления: если f(x) интегрируема на [a;b] и непрерывна в точке x_0, то F'(x_0)=f(x_0). Доказали тем самым формулу Ньютона-Лейбница. Обсудили значение этой формулы для мат.анализа.
7) Ввели понятие первообразной и его связь с понятием интеграла. 
8) Доказали, что если функция интегрируема на отрезке, то у нее может и не быть первообразной.
9) Нашли первообразные: а) x^n, где n!=-1; б) 1/x; в) sin x; г) cos x; д) a^x; е) 1/sqrt(1-x^2); -1/sqrt(x^2);
10) Сформулировали и геометрически объяснили метод интегрирования подстановкой. Нашли интегралы: а) 1/sqrt(a^2-x^2); б) 1/(a^2+x^2); в) tg x.


Занятие №26 (11.03.2017)
1) Проинтегрировали dx/(x^2+2x+4).
2) Проинтегрировали dx/(x^2+x), dx/(x^2-1), dx/(x^2+3x+1). Поговорили вкратце о том, как интегрировать, например, dx/(x^4+1).
3) Вывели формулу интегрирования по частям.
4) Проинтегрировали ln x dx.
5) Проинтегрировали arcsin x dx.
6) Проинтегрировали arctg x dx.
7) Проинтегрировали dx/(x^2 sqrt(x^2-1)).
8) Проинтегрировали sqrt(a^2-x^2)dx путем выражения интеграла через сам себя.
9) Вывели формулу площади эллипса x^2/a^2+y^2/b^2=1.
10) Вывели формулу объема шара.
11) (Олимпиадная задача) Квадратный трехчлен ax^2+bx+c таков, что a+3c=0. Докажите, что у него есть корень на отрезке [-1;1].
12) (Олимпиадная задача) Нашли интеграл (sqrt(x^3+1)+(x^2+2x)^(1/3))dx from x=0 to 2.

Занятие №27 (18.03.2017)
1) Дали геометрическое определение эллипса (через сумму расстояний до фокусов). Вывели из него уравнение эллипса.
2) Доказали оптическое свойство эллипса.
3) Вывели уравнение касательной к эллипсу в данной точке. Решили один пример на эту тему.
4) Дали геометрическое определение параболы (через фокус и директрису). Вывели из него уравнение параболы.
5) Дали геометрическое определение гиперболы (разность расстояний до фокусов). Вывели из него уравнение гиперболы.
6) Сформулировали, но не доказали оптическое свойство параболы.
7) Разобрали, как строить график уравнения ax^2+2bxy+cy^2=t, поворачивая систему координат и получая эллипс либо гиперболу.
8) Поговорили о том, как уравнение второй степени общего вида ax^2+2bxy+cy^2+2px+2qy=t сводить к уравнению параболы, эллипса или гиперболы (сдвиг и поворот плоскости).
9) Начали решать пример, но не успели довести до конца.
Построить график уравнения 2x^2-4xy+5y^2+8x-2y+9=0, понять, что это за кривая, какие у нее оси, фокусы и центр.
Настоятельно рекомендую к следующему разу самостоятельно решить этот пример и разобраться в нем, если не хотите еще целую пару потратить на обсуждение похожих примеров.

Занятие №28 (25.03.2017)
1) Исследовали уравнение 2x^2-3xy+y^2=1.
а) Нашли угол, на который надо повернуть систему координат, чтобы избавиться от члена с xy.
б) Выяснили, что уравнение задает гиперболу.
в) Нашли параметры этой гиперболы a, b и фокусное расстояние.
2) Исследовали уравнение x^2+2xy+y^2+x=0, выяснили, что это за кривая, схематично построили график.
3) Доказали, что эллипс является сечением конуса плоскостью, пересекающей все образующие. Про параболу и гиперболу сформулировали аналогичные утверждения б/д.
4) Дали геометрическое определение гиперболического косинуса (через площадь гиперболического треугольника).
5) Начали доказывать формулу ch(x)=(exp(x)+exp(-x))/2. Остановились на том, что вычислили интеграл sqrt(x^2-1)dx.

Занятие №29 (1.04.2017)
1) Вспомнили геометрическое определение гиперболических функций. Вспомнили, как вычислять интеграл sqrt(x^2-1)dx. Закончили доказательство того факта, что ch(x)=(exp(x)+exp(-x))/2.
2) Доказали несколько простых фактов про гиперболические функции: формулу для sh(x), основное гиперболическое тождество, определили arsh(x) и arch(x), доказали формулу для arch(x). Вывели производную sh(x) и ch(x).
3) Вывели формулу для длины графика функции y=f(x) от точки x=a до точки x=b.
4) Применив гиперболическую замену, вычислили интеграл sqrt(x^2+1)dx.
5) Вычислили длину куска параболы y=x^2 от 0 до 1.
6) Дали определение цепной линии. Решили задачу: длина цепной линии от -h/2 до h/2 равна l, найдите высоту (то есть значение a*ch(x/a)-a*ch(0)).